Laplace-getransformeerden van periodieke functies

Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties

Laplace-getransformeerden van periodieke functies

Ook voor periodieke functies is er een regel voor de berekening van de Laplace-getransformeerde.

Periodieke functieLaat #T# een positief getal zijn. Een functie #f# op #\ivco{0}{\infty}# heet periodiek met periode #T# als voor alle #t\ge0# geldt \[f(t+T) = f(t)\]

De cosinus en sinus zijn periodiek met periode #2\pi#.

Een constante functie is periodiek met periode #T# voor elke positieve waarde van #T#.

Hier is een formule voor de Laplace-getransformeerde van een periodieke functie:

De Laplace-getransformeerde van een periodieke functieAls de Laplace-getransformeerde van een periodieke functie #f# met periode #T\gt0# bestaat, dan voldoet deze aan

\[\laplace(f) (s) = \frac{1}{1-\ee^{-Ts}}\cdot \int_0^T\ee^{-st}\cdot f(t)\,\dd t\]

De periodiciteit leidt tot een lineaire vergelijking voor de Laplace-getransformeerde:

\[\begin{array}{rcl} \laplace{(f)} (s) &=&\int_0^{\infty}f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t\\ &=& \int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+ \int_T^{\infty} f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t\\ &=&\int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+ \int_0^{\infty} f(t+T)\cdot \e^{-st-sT}\,\dd t\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{substitutie }t = T+t}\\&=&\int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+ \int_0^{\infty} f(t)\cdot \e^{-st-sT}\,\dd t\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{periodiciteit}}\\&=&\int_0^T f(t)\cdot \e^{-st}\,\dd t+\e^{-sT}\cdot \laplace{(f)}(s)\end{array}\]

Oplossing van deze lineaire vergelijking in de onbekende \(\laplace{(f)}(s)\) geeft

\[\laplace{(f)}(s) = \frac{1}{1-\ee^{-Ts}}\cdot \int_0^T\ee^{-st}\cdot f(t)\,\dd t\]

Bepaal de Laplace-getransformeerde van de periodieke functie #f# op #\ivco{0}{\infty}# met periode #4# gegeven door \[f(t)=\begin{cases}1 &\text{als }\ 0\le t \lt 2\\ -1 &\text{als }\ 2\le t\lt 4\end{cases}\]

Geef je antwoord als een functie van #s# voor #s>0#.

#\laplace{(f)}(s) = # #{{\euler^{2\cdot s}-1}\over{s\cdot \euler^{2\cdot s}+s}}#

Volgens de Laplace-getransformeerde van een periodieke functie geldt
\[\begin{array}{rcl}\laplace{(f)}(s) &=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-4 s}}\cdot \int_0^{4}\ee^{-st}\cdot f(t)\,\dd t\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{De Laplace-getransformeerde van een periodieke functie}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-4 s}}\cdot \left(\int_0^{2}\ee^{-st}\,\dd t-\int_{2}^{4}\ee^{-st}\,\dd t\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }f}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-4 s}}\cdot\left( \left[-{{\euler^ {- t s }}\over{s}}\right]_0^{2}+\left[{{\euler^ {- t s }}\over{s}}\right]_{2}^{4}\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieve berekend}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{1-\ee^{-4 s}}\cdot\left( {{1}\over{s}}-{{\euler^ {- 2 s }}\over{s}}+{{\euler^ {- 4 s }}\over{s}}-{{\euler^ {- 2 s }}\over{s}}\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieven uitgerekend in de grenzen}}\\
&=&\displaystyle {{\euler^{2\cdot s}-1}\over{s\cdot \euler^{2\cdot s}+s}}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld