Intégration: Techniques d'intégration
Intégration d'une fonction trigonométrique
En utilisant l'intégration par substitution, nous pouvons également résoudre des intégrales trigonométriques. Nous utilisons souvent les formules trigonométriques suivantes.
\[\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]
\[\cos^2(x) = \frac{\cos(2x)+1}{2}\]
\[\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}\]
#\int -\cos(2\cdot t)^8\cdot \sin(2\cdot t) \,\dd t=# #{{\cos(2\cdot t)^9}\over{18}} + C#
Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(t)={{t^8}\over{2}}# et #h(t)=\cos(2\cdot t)#, car alors #g(h(t)) \cdot h'(t)=-\cos(2\cdot t)^8\cdot \sin(2\cdot t)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(2\cdot t)^8\cdot \sin(2\cdot t) \,\dd t&=& \displaystyle \int {{\cos(2\cdot t)^8}\over{2}} \cdot -2\cdot \sin(2\cdot t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \text{ avec } h'(t)=-2\cdot \sin(2\cdot t)} \\ &=& \displaystyle \int {{\cos(2\cdot t)^8}\over{2}} \, \dd(\cos(2\cdot t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^8}\over{2}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(2\cdot t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^9}\over{18}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(2\cdot t)^9}\over{18}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(2\cdot t)}
\end{array}\]
Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(t)={{t^8}\over{2}}# et #h(t)=\cos(2\cdot t)#, car alors #g(h(t)) \cdot h'(t)=-\cos(2\cdot t)^8\cdot \sin(2\cdot t)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(2\cdot t)^8\cdot \sin(2\cdot t) \,\dd t&=& \displaystyle \int {{\cos(2\cdot t)^8}\over{2}} \cdot -2\cdot \sin(2\cdot t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \text{ avec } h'(t)=-2\cdot \sin(2\cdot t)} \\ &=& \displaystyle \int {{\cos(2\cdot t)^8}\over{2}} \, \dd(\cos(2\cdot t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^8}\over{2}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(2\cdot t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^9}\over{18}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(2\cdot t)^9}\over{18}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(2\cdot t)}
\end{array}\]
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