#\int \sin(t)^3 \,\dd t=# #{{\cos(t)^3}\over{3}}-\cos(t) + C#

---

Aplicamos el método de sustitución con #g(t)=t^2-1# y #h(t)=\cos(t)#, porque en ese caso se aplica #g(h(t)) \cdot h'(t)=\sin(t)^3#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \sin(t)^3 \,\dd t&=& \displaystyle \int \left(\cos(t)^2-1\right) \cdot -\sin(t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \\
\text{ con } h'(t)=-\sin(t)} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{usando la regla trigonométrica }\sin^2(t)=1-\cos^2(t)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\cos(t)^2-1 \right) \, \dd(\cos(t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int u^2-1 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^3}\over{3}}-u +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(t)^3}\over{3}}-\cos(t) +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(t)}
\end{array}\]