#\int \cos(3\cdot t)^3\cdot \sin(3\cdot t) \,\dd t=# #-{{\cos(3\cdot t)^4}\over{12}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(t)=-{{t^3}\over{3}}# y #h(t)=\cos(3\cdot t)#, porque en ese caso se aplica #g(h(t)) \cdot h'(t)=\cos(3\cdot t)^3\cdot \sin(3\cdot t)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(3\cdot t)^3\cdot \sin(3\cdot t) \,\dd t&=& \displaystyle \int -{{\cos(3\cdot t)^3}\over{3}} \cdot -3\cdot \sin(3\cdot t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \\
\text{ con } h'(t)=-3\cdot \sin(3\cdot t)} \\ &=& \displaystyle \int \left(-{{\cos(3\cdot t)^3}\over{3}} \right) \, \dd(\cos(3\cdot t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^3}\over{3}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(3\cdot t)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^4}\over{12}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(3\cdot t)^4}\over{12}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(3\cdot t)}
\end{array}\]