Addition et soustraction de fractions de même dénominateur

Algèbre: Fractions

Addition et soustraction de fractions de même dénominateur

	Exemples
Pour additionner des fractions de même dénominateur, nous gardons le #\blue{\text{dénominateur}}# et nous additionnons les #\orange{\text{numérateurs}}#.	\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\orange{2x}}{\blue{y}} + \dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} &=& \dfrac{\orange{3x}}{\blue{y}} \\ \end{array}\]

Pour soustraire des fractions de même dénominateur, nous gardons le #\blue{\text{dénominateur}}# et nous soustrayons les #\orange{\text{numérateurs}}#.

\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} - \dfrac{\orange{2x}}{\blue{y}} &=& \dfrac{\orange{-x}}{\blue{y}}
\end{array}\]

Simplification

Nous préférons des fractions qui sont simplifiées autant que possible. Ainsi, après avoir additionné ou soustrait des fractions, nous allons vérifier si la réponse peut encore être simplifiée.

Exemples

\[\begin{array}{rcl} &&\dfrac{\orange{x+5}}{\blue{x^2+6x+8}}+\dfrac{\orange{2x+7}}{\blue{x^2+6x+8}} \\&=&\dfrac{\orange{3x+12}}{\blue{x^2+6x+8}}\\ &=& \dfrac{\orange{3 \cdot (x+4)}}{\blue{(x+2) \cdot (x+4)}}\\&=&\dfrac{\orange{3}}{\blue{x+2}} \end{array}\]

Parenthèses

Lors de la soustraction de fractions, pensez à mettre des parenthèses supplémentaires autour du numérateur. Ainsi, le numérateur entier est soustrait.

Exemples

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\orange{x+5}}{\blue{x+6}} - \dfrac{\orange{x+3}}{\blue{x+6}} &=& \dfrac{\orange{x+5-(x+3)}}{\blue{x+6}}\\ &=& \dfrac{\orange{2}}{\blue{x+6}} \\ \\
\dfrac{\orange{x+5}}{\blue{x+6}} - \dfrac{\orange{x+3}}{\blue{x+6}} & \red\ne & \dfrac{\orange{x+5-x+3}}{\blue{x+6}}\\ &=& \dfrac{\orange{8}}{\blue{x+6}} \end{array}\]

Écrivez sous forme d'une seule fraction et simplifiez autant que possible:
\[\dfrac{8}{x+2} - \dfrac{x+9}{x+2}\]

#{{-x-1}\over{x+2}}#

#\begin{array}{rcl}
\dfrac{8}{x+2} - \dfrac{x+9}{x+2} &=& \dfrac{8 - \left(x+9\right)}{x+2}\\
&& \phantom{xxx}\blue{\text{addition de fractions de même dénominateur}}\\
&=& \dfrac{-x-1}{x+2} \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\\
\end{array}#

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