Functies: Wortelfuncties
Wortelvergelijkingen
Hier zijn voorbeelden waarin een wortelvergelijking opgelost moet worden.
#x=1#
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gekwadrateerd}}\\
4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden min }5}\\
x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }4}\end{array}\]
Nu controleren we de gevonden oplossing #x=1# door deze in de vergelijking in te vullen:
\[\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3\]
Dus de oplossing voldoet en dus is de oplossing van de vergelijking #x=1#.
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gekwadrateerd}}\\
4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden min }5}\\
x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide zijden gedeeld door }4}\end{array}\]
Nu controleren we de gevonden oplossing #x=1# door deze in de vergelijking in te vullen:
\[\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3\]
Dus de oplossing voldoet en dus is de oplossing van de vergelijking #x=1#.
In het assenstelsel hieronder zien we de grafiek #f(x)=\sqrt{4x+5}# in blauw (doorgetrokken) en #g(x)=3# in groen (gestreept) en hun snijpunt #\rv{1,3}# in rood.
In het algemeen kunnen we een wortelvergelijking oplossen met de onderstaande #4# stappen.
Oplossen wortelvergelijking
|
Stappenplan We lossen een wortelvergelijking in #x# op. |
Voorbeeld #\sqrt{x+4}+4=9# |
|
| Stap 1 | Isoleer de wortel. Dat betekent dat we door middel van herleiden zorgen dat de wortel alleen komt te staan. |
#\sqrt{x+4}=5# |
| Stap 2 | Kwadrateer beide zijden om de wortel weg te werken. |
#x+4=25# |
| Stap 3 | Los de ontstane vergelijking op. |
#x=21# |
| Stap 4 | Controleer of de gevonden oplossing een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking is. |
#\sqrt{21+4}+4=9# Dus de oplossing voldoet. |
# x={{12}\over{7}} #
\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{3\cdot x-6}&=& \sqrt{6-4\cdot x}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
3\cdot x-6&=&6-4\cdot x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gekwadrateerd}} \\
7\cdot x&=&12 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termen met }x \text{ naar links, constante termen naar rechts}} \\
x&=&{{12}\over{7}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door de coëfficiënt van }x} \\
\end{array}\]
\[\sqrt{3\cdot \left({{12}\over{7}}\right)-6}={{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \complexi}\over{\sqrt{7}}}\]
Aan de rechter kant staat:
\[\sqrt{6-4\cdot \left({{12}\over{7}}\right)}={{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \complexi}\over{\sqrt{7}}}\]
Links en rechts zijn gelijk, dus deze oplossing is correct.
De oplossing van de vergelijking is dus # x={{12}\over{7}} #.
\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{3\cdot x-6}&=& \sqrt{6-4\cdot x}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
3\cdot x-6&=&6-4\cdot x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gekwadrateerd}} \\
7\cdot x&=&12 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termen met }x \text{ naar links, constante termen naar rechts}} \\
x&=&{{12}\over{7}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door de coëfficiënt van }x} \\
\end{array}\]
Omdat we gekwadrateerd hebben, is de gevonden oplossing voor #x# mogelijk geen oplossing van de oorspronkelijke vergelijking. Daarom moeten we de gevonden oplossing nu controleren door hem in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.
Aan de linker kant staat:\[\sqrt{3\cdot \left({{12}\over{7}}\right)-6}={{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \complexi}\over{\sqrt{7}}}\]
Aan de rechter kant staat:
\[\sqrt{6-4\cdot \left({{12}\over{7}}\right)}={{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \complexi}\over{\sqrt{7}}}\]
Links en rechts zijn gelijk, dus deze oplossing is correct.
De oplossing van de vergelijking is dus # x={{12}\over{7}} #.
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
