Puntos de intersección de las parábolas con una recta

Ecuaciones cuadráticas: Puntos de intersección de las parábolas

Puntos de intersección de las parábolas con una recta

Una fórmula cuadrática #y=a_1x^2+b_1x+c_1# y una fórmula lineal #y=a_2x+b_2# pueden tener cero, uno o dos puntos de intersección. Ahora investigaremos cómo encontrar estos puntos de intersección.

Puntos de intersección de una parábola y una recta

	Procedimiento	geogebra plaatje
	Determinamos el punto de intersección de la parábola #y=a_1x^2+b_1x+c_1# y de la recta #y=a_2x+b_2#.
Paso 1	Primero determinamos la coordenada #x# del punto de intersección resolviendo la ecuación \[a_1x^2+b_1x+c_1=a_2x+b_2\] por medio de factorización, completando el cuadrado o la fórmula cuadrática.
Paso 2	Determinamos la coordenada #y# del punto de intersección sustituyendo la coordenada #x# obtenida en una de las dos fórmulas. Por lo general, es más fácil sustituir en la fórmula lineal.

Número de puntos de intersección y gráficaAhora investigaremos cómo reconocer el número de puntos de intersección entre una parábola y una recta. En el paso 1, podemos calcular cuántos puntos de intersección existen con la fórmula cuadrática. Además, el número de puntos de intersección es visible en la gráfica.

Fórmulas #y=x^2+2x+2# #y=3x-5#	Fórmulas #y=x^2+2x+2# #y=3x+\tfrac{7}{4}#	Fórmulas #y=x^2+2x+2# #y=3x+4#
Ecuación correspondiente #x^2+2x+2=3x-5#	Ecuación correspondiente #x^2+2x+2=3x+\tfrac{7}{4}#	Ecuación correspondiente #x^2+2x+2=3x+4#
Reduce a #0# #x^2\green{-}x+\purple{7}=0#	Reduce a #0# #x^2\green{-}x+\purple{\tfrac{1}{4}}=0#	Reduce a #0# #x^2\green{-}x\purple{-2}=0#
Discriminante #\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{7}\\&=&\orange{-27}\lt 0\end{array}#	Discriminante #\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{\frac{1}{4}}\\&=&\orange{0}\end{array}#	Discriminante #\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{-2}\\&=&\orange{9}\gt 0\end{array}#

Sin puntos de intersección.	Un punto de intersección (punto de tangencia): #\rv{\frac{1}{2}, \frac{13}{4}}#.	Dos puntos de intersección: #\rv{-1,1}# y #\rv{2,10}#.

El último paso indica que dadas las gráficas \[y = x^2-10\cdot x+40\phantom{xxx}\text{ y }\phantom{xxx} y = 17\cdot x-142\]
se cruzan en dos puntos. Determina los dos puntos de intersección.

Da tu respuesta en la forma de #\left\{\rv{a,b},\rv{c,d}\right\}#, en la cual #a#, #b#, #c#, #d# son números exactos.

#\left \{\rv{ 13 , 79 } , \rv{ 14 , 96 } \right \} #

La coordenada #x# de un punto que se encuentra en ambas parábolas debe satisfacer
\[x^2-10\cdot x+40 = 17\cdot x-142\tiny.\]
Resolvemos esta ecuación, después de la reducción, por factorización.
\[\begin{array}{rcl}
x^2-27\cdot x+182 &=& 0\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{todos los términos al lado izquierdo}}\\

\left(x-14\right)\cdot \left(x-13\right) &=&0 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{factorizado}}\\
x-14 = 0 &\lor& x-13=0 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{A\cdot B=0 \text{ si y solo si }A=0\lor B=0}\\
x=14 &\lor& x=13 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{término constante al lado derecho}}\\
\end{array}\]
Ahora podemos calcular el valor correspondiente #y# ingresando este valor de #x# en una de las dos fórmulas. En este caso lo más conveniente es elegir la función lineal. Primero calculamos el valor de #y# en #x=13#.
\[\begin{array}{rcl}
y&= & 17\cdot 13-142 = 79
\end{array}\]
A continuación calculamos el valor de #y# en #x=14#.
\[\begin{array}{rcl}
y&=& 17\cdot 14-142 = 96
\end{array}\]
La conclusión es que los puntos de intersección #2# están dados por: \[ \left \{\rv{ 13 , 79 } , \rv{ 14 , 96 } \right \}\tiny. \]

Vemos que los puntos de intersección calculados coinciden con los puntos de intersección identificados en el paso 1. Observa la figura a continuación, en la que los puntos de intersección están dibujados en rojo.

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