Lineaire ongelijkheden: Lineaire ongelijkheden met één onbekende
Oplossen door herleiding
Lineaire ongelijkheden met één onbekende zijn op te lossen door herleiding.
Elke ongelijkheid van de vorm #ax+b\ge0# met #a\ne0# kan herschreven worden tot \[\begin{cases}x\ge -\dfrac{b}{a}& \text{ als }a\gt 0\\ x\le -\dfrac{b}{a}& \text{ als }a\lt0\end{cases}\]
Hierbij zijn regels 4 en 5 van Ordening van de reële getallen gebruikt. We behandelen het geval #a\lt0#:
\[\begin{array}{rclcl}ax+b\ge0&\Leftrightarrow&ax\ge -b &\phantom{x}&\color{blue}{\text{ aan beide zijden }b\text{ afgetrokken }}\\&\Leftrightarrow&x\le -\dfrac{b}{a} &\phantom{x}&\color{blue}{\text{ aan beide zijden door }a\text{ gedeeld }}\\ \end{array}\]
Meerdere ongelijkheden kunnen we samenstellen met operatoren als '#\lor#' en '#\land#', die staan voor 'of' en 'en'.
Zo kunnen we bovenstaande oplossing voor #ax+b\ge0# herformuleren als
\[\left(x\ge -\dfrac{b}{a}\land a\gt 0\right) \lor \left( x\le -\dfrac{b}{a}\land a\lt0\right)\tiny.\]
Een stel ongelijkheden heet equivalent met een ander stel als ze precies dezelfde oplossingen hebben. Bijvoorbeeld: #x\gt 5\wedge x\gt 2# is equivalent met #x\gt 5#.
Met #\Leftrightarrow# tussen twee uitdrukkingen geven we aan dat ze equivalent zijn. Bijvoorbeeld:
#x\gt 5\wedge x\gt 2\Leftrightarrow x\gt 5#.
Immers,
\[\begin{array}{rclcl} \left(x\gt 2\land x\gt -9\right)\lor \left(x\gt 5\right) &\Leftrightarrow&x\gt 2\lor x>5&\phantom{x}&\color{blue}{\text{ }2=\max(2,-9)}\\ &\Leftrightarrow&x\gt 2 &\phantom{x}& \color{blue}{\text{ }2=\min(2,5)} \\ \end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
