We leiden de formule voor de sinus af in het geval dat de hoeken #\alpha# en #\beta# scherp zijn. We laten gevallen met stompe hoeken schieten (de formules in alle andere gevallen eenvoudig te verifiëren door gebruik te maken van het geval van scherpe hoeken en de periodiciteiten van sinus en cosinus). Voor de sinus gebruiken we onderstaand plaatje.

De figuur is als volgt opgebouwd: eerst is de driehoek #ABC# getekend met rechte hoek #B# en met hoek #A# ter grootte #\alpha#. Dit betekent dat #\sin(\alpha) = \frac{|BC|}{|AC|}# en #\cos(\alpha) = \frac{|AB|}{|AC|}#.

Vervolgens is daarboven de driehoek #ACD# getekend met rechte hoek #C# en met hoek #A# ter grootte #\beta#. Dit betekent dat #\sin(\beta) = \frac{|CD|}{|AD|}# en #\cos(\alpha) = \frac{|AC|}{|AD|}#.

We willen de hoek #\alpha+\beta# in een rechthoekige driehoek zien verschijnen. Daartoe gebruiken we de driehoek #AED# met rechte hoek #E# die ontstaat door loodrechte projectie van #D# op de lijn #AB#. De hoek #A# van deze driehoek heeft groote #\alpha+\beta#, zodat #\sin(\alpha+\beta)=\frac{|DE|}{|AD|}#.

We projecteren #C# loodrecht op #DE# om de lengte van #DE# te berekenen als #|DF|+|EF|#. De hoek #D# van driehoek #DFC# met rechte hoek #F# heeft grootte #\alpha#. (Dit volgt bijvoorbeeld uit het feit dat #AB# loodrecht staat op #DE# en #AC# loodrecht staat op #CD#.) Daarom is #\cos(\alpha) = \frac{|FD|}{|CD|}#, zodat #|DF| = |CD|\cos(\alpha)=|AD|\sin(\beta)\cos(\alpha)#. Verder zijn de overstaande zijden van de rechthoek #EBCF# gelijk: #|EF|=|BC|=\sin(\alpha)|AC|=\sin(\alpha)\cos(\beta) |AD|#. We concluderen:

\[\begin{array}{rclcl}\sin(\alpha+\beta) &=& \frac{|DF|}{|AD|}+\frac{|EF|}{|AD|}&\phantom{x}&\color{blue}{|DE|=|DF|+|EF|} \\ &=&\sin(\beta)\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(\beta)&\phantom{x}&\color{blue}{\text{formules voor}|DF|\text{ en }|EF|}\\ \end{array}\]

De formule voor de cosinus van #\alpha+\beta# volgt door gebruik te maken van #\cos(\varphi) = \sin(90^\circ-\varphi)#:\[\begin{array}{rclcl}\cos(\alpha+\beta) &=& \sin(90^\circ-\alpha-\beta)&\phantom{x}&\color{blue}{\cos(\varphi) = \sin(90^\circ-\varphi)} \\ &=&\sin(90^\circ-\beta)\cos(-\alpha)+\sin(-\alpha)\cos(90^\circ-\beta)&\phantom{x}&\color{blue}{\text{formules voor }\sin}\\&=&\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\alpha)\sin(\beta)&\phantom{x}&\color{blue}{\text{formules voor }\sin}\\ \end{array}\]

De formule voor de tangens van #\alpha+\beta# volgt door gebruik te maken van de definitie van de tangens:\[\begin{array}{rclcl}\tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie }\tan} \\ &=&\frac{\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{additieformules voor }\sin\text{ en }\cos}\\ &=&\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{gedeeld door }\cos(\alpha)\cos(\beta)}\\ &=&\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie }\tan}\\ \end{array}\]