2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Transformaties van het vlak
Spiegelingen in 2 dimensies
Als #l# een lijn is in het vlak, dan is er één spiegeling om die lijn. Die spiegeling noteren we als #S_l#. De transformatie #S_l# voert een punt #P# over in het punt dat aan de andere kant van de "spiegel" #l# zit, op dezelfde afstand tot #l# als #P# en op de lijn door #P# en de loodrechte projectie van #P# op #l#.
Als #\vec{v}# een vector loodrecht op #l# is, dan wordt de spiegeling #S_l# beschreven door de formule
\[ S_l \left(\vec{w}\right) = \vec{w}-2\frac{ \vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec v\cdot \vec v}\cdot\vec{v}\tiny.\]
De spiegeling om de #x#-as, bijvoorbeeld, voert #\rv{x,y}# over in #\rv{x,-y}#. In termen van bovenstaande formule: de vector #\vec{v} = \rv{0,1}# staat loodrecht op de #x#-as, dus volgens de formule wordt #\vec{w} = \rv{x,y}# overgevoerd in #\vec{w}-2\frac{ \vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec v\cdot \vec v}\cdot\vec{v} = \rv{x,y} - 2\frac{\rv{0,1}\cdot\rv{x,y}}{\rv{0,1}\cdot\rv{0,1}}\cdot \rv{0,1} = \rv{x,y} - \rv{0,2y} = \rv{x,-y}#.
Laat #ABC# een driehoek zijn met #A=\rv{0,0}# en #B = \rv{c,0}# voor zekere #c\gt0#. Als #A'B'C'# een driehoek is die congruent maar niet direct congruent is met #ABC#, dan zijn er vectoren #\vec{v}# en #\vec{w}#, zodat elk hoekpunt van #A'B'C'# in het corresponderende hoekpunt van #ABC# overgevoerd wordt door eerst te transleren over #\vec{v}# en dan te spiegelen aan de lijn door #\rv{0,0}# loodrecht op #\vec{w}#. Met andere woorden: #S_{\vec{w}}\left(T_{\vec{v}}(A')\right) = A#, #S_{\vec{w}}\left(T_{\vec{v}}(B')\right) = B# en #S_{\vec{w}}\left(T_{\vec{v}}(C')\right) = C#.
We kiezen de vector #\vec{v}=\rv{-8,+7}# loodrecht op #l# om de formule voor de spiegeling #S_l# om #l# uit de theorie toe te passen. We vinden
\[\begin{array}{rcl} S_l\rv{5,-6} & = & \rv{5,-6}-2\frac{\rv{5,-6}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} \vec{v} \\ & = & \rv{5,-6}-2\frac{\rv{5,-6}\cdot \rv{-8,+7}}{(-8)^2+(-7)^2} \rv{-8,+7} \\ & = & \rv{5,-6}-2\frac{-86}{113} \rv{-8,+7} \\ & = & \rv{-{{811}\over{113}},{{526}\over{113}}}\tiny.\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
