2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Inproduct en uitproduct
Inproduct in 2 dimensies
De georiënteerde hoek tussen twee vectoren is de georiënteerde hoek tussen twee gerichte lijnstukken: de richting van twee lijnstukken #AB# en #AC# wordt bepaald door het snijpunt #A# als startpunt van de representant van de vector te nemen. De sleutel tot een goede uitdrukking voor de cosinus van die hoek is de volgende functie van paren van vectoren.
Het inproduct van twee vectoren #\vec{a}= \rv{a_1, a_2}# en #\vec{b}= \rv{b_1, b_2}# in #\mathbb{R}^2# is gedefinieerd als
\[
\vec{a}\cdot \vec{b} = a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2\tiny.
\]
In feite geven de richtingsvectoren iets meer informatie over de hoek dan lijnen, namelijk welke kant de richting op gekozen wordt. Dat is in deze formule ook te zien: bij de overgang van #\vec{b}# naar #-\vec{b}# slaat het teken van het inproduct om.
Het inproduct is makkelijk te berekenen dankzij de volgende regels, waarbij #\lambda# en #\mu# getallen zijn en #\vec{u}#, #\vec{v}# en #\vec{w}# vectoren.
Rekenregels voor inproduct
\[\begin{array}{lrcl}\color{black}{\text{symmetrie:}}&\vec{u}\cdot \vec{v} &=&\vec{v} \cdot\vec{u}\\ \color{black}{\text{lengte uitgedrukt}}&&& \\ \color{black}{\text{in inproduct:}}&\parallel\vec{v}\parallel&=&\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v} }\\ \color{black}{\text{rechts-lineariteit:}}&\vec{u}\cdot \left(\lambda \cdot \vec{v}+\mu \cdot \vec{w}\right) &=&\lambda \cdot \left(\vec{u}\cdot \vec{v}\right)+\mu \cdot\left(\vec{u}\cdot \vec{w}\right)\\ \color{black}{\text{links-lineariteit:}}&\left(\lambda \cdot \vec{v}+\mu \cdot \vec{w}\right)\cdot\vec{u} &=&\lambda \cdot \left( \vec{v}\cdot\vec{u} \right)+\mu \cdot\left( \vec{w}\cdot\vec{u}\right)\\ \color{black}{\text{inproduct uitge-}}&&& \\\color{black}{\text{drukt in lengtes:}}&\vec{u}\cdot \vec{v} &=&\frac{1}{2}\left(\parallel{\vec{u}+\vec{v}}\parallel^2 -\parallel\vec{u}\parallel^2-\parallel\vec{v}\parallel^2\right) \\ \end{array}\]
Symmetrie volgt uit commutativiteit van de vermenigvuldiging:\[\vec{u}\cdot \vec{v}= u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2= v_1\cdot u_1+v_2\cdot u_2=\vec{v}\cdot \vec{u}\]
De lengte van #\vec{v}# en # \sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v} }# zijn beide gelijk aan #\sqrt{v_1^2+v_2^2} #.
De cosinus kan hierin uitgedrukt worden.
Voor de georiënteerde hoek #\varphi# tussen de twee vectoren #\vec{v} # en #\vec{w} # geldt
\[ \cos (\varphi) = \frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{\parallel\vec{v}\parallel\cdot \parallel\vec{w}\parallel} \]De hoek hangt niet van de oriëntatie af.
We geven een bewijs van de formule dat afhangt van de Rekenregels voor inproduct die we net behandeld hebben. Die rekenregels vertellen ons dat het inproduct tussen #\vec{v}# en #\vec{w}# alleen afhangt van de lengtes van #\vec{v}#, #\vec{w}# en #\vec{v}-\vec{w}# (gebruik, om dit in te zien de rekenregel Inproduct uitgedrukt in lengtes met #\vec{v}# in plaats van #\vec{u}# en #-\vec{w}# in plaats van #\vec{v}#). Met andere woorden als we #A# als oorsprong nemen, #B# als eindpunt van #\vec{v}# en #C# als eindpunt van #\vec{w}#, dan is het rechter lid te schrijven in termen van de lengtes van de zijden van de driehoek #ABC#. In het bijzonder verandert het rechter lid van de formule niet als we het vlak draaien of verschuiven.
Maar dat geldt ook voor het linker lid, omdat de hoek niet verandert als we schuiven en draaien: directe congruentie. Daarom hoeven we alleen na te gaan of de formule correct is in het geval #A=\rv{0,0}#, #B =\vec{v}= \rv{v_1,0}#, waarbij #v_1\gt0#, en #C = \vec{w}=\rv{w_1,w_2}#.
In dit geval geldt \[\begin{array}{rclcl} \cos(\varphi) &=& \frac{w_1}{\sqrt{w_1^2+w_2^2}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie cos}}\\ &=&\frac{w_1}{\parallel \vec{w}\parallel}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie }{\parallel \vec{w}\parallel}}\\ &=&\frac{v_1\cdot w_1}{|v_1|\cdot \parallel\vec{w}\parallel} &&\color{blue}{v_1\gt0}\\ &=& \frac{\rv{v_1,0}\cdot\rv{w_1,w_2}}{|v_1|\cdot \parallel\vec{w}\parallel} &&\color{blue}{\text{definitie inproduct}}\\ &=& \frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{\parallel\vec{v}\parallel\cdot \parallel\vec{w}\parallel} &&\color{blue}{\text{definitie } \parallel\vec{v}\parallel}\end{array}\]
We hebben eerder al gezien dat de cosinus van de hoek niet van de oriëntatie afhangt. Deze onafhankelijkheid komt tot uitdrukking in de symmetrie van het inproduct.
De hoek #\varphi# bepalen we met behulp van de cosinusformule: \[\cos (\varphi) = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\parallel\vec{u}\parallel\cdot \parallel\vec{v}\parallel} = \frac{1\cdot 1 + 0\cdot 1}{\sqrt{1^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}} =\frac{1}{\sqrt{1\cdot 2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \tiny.\]Omdat de hoek scherp is, is de hoek die hierbij hoort gelijk aan #\frac{\pi}{4}# of #45^{\circ}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
