We bewijzen eerst dat de ongelijkheden gelden als #h# de kop van de decimale ontwikkeling van #r# is.

Laat #w.r_1r_2r_3\cdots# de decimale ontwikkeling van #r# zijn, waarbij #w# een niet-negatief geheel getal is en #r_1,r_2,\ldots# cijfers zijn. Dan is #h# gelijk aan #w.r_1r_2r_3\cdots r_i#. We kunnen de ongelijkheden die we moeten bewijzen dus schrijven als\[ w.r_1\cdots r_i\le r \le w.r_1\cdots r_{i-1} +\frac{r_i+1}{10^i}\tiny.\]

De eerste ongelijkheid, #w.r_1\cdots r_i\le r #, volgt uit het feit dat \({}r=w.r_1\cdots r_i+ \frac{r_{i+1}}{10^{i+1}}+\frac{r_{i+2}}{10^{i+2}}+\cdots{} \), omdat alle breuken in het rechter lid groter dan of gelijk aan #0# zijn. Gelijkheid komt alleen voor als de staart vanaf #i+1# gelijk is aan #0#.

De tweede ongelijkheid, # \le w.r_1\cdots r_{i-1} +\frac{r_i+1}{10^i}#, volgt uit het feit dat #\frac{r_{i+1}}{10^{i+1}} +\frac{r_{i+2}}{10^{i+2}}+\cdots # kleiner dan of gelijk is aan#\frac{9}{10^{i+1}} +\frac{9}{10^{i+2}}+\cdots =(.999\cdots )\times 10^{-i} = \frac{1}{10^{i}}#.

Het geval van gelijkheid kan niet voorkomen, want dan zou de staart vanaf de #(i+1)#de decimaal uit louter #9#'s moeten bestaan. Dat is uitgesloten door de eis dat #w.r_1r_2r_3\cdots# de decimale ontwikkeling van #r# is.

Stel nu dat #h# voldoet aan #h\le r \lt h+\frac{1}{10^i}#. We laten zien dat #h# dan de kop van de decimale ontwikkeling van #r# is. Laat #k# de kop met #i# decimalen van de decimale ontwikkeling van #r# zijn. Dan geldt, vanwege de uitspraak die net bewezen is, dat #k\le r \lt k+\frac{1}{10^i}#. Passen we rekenregel 2 voor ongelijkheden toe op #h\le r\lt k+\frac{1}{10^i}# en op #k\le r\lt h+\frac{1}{10^i}#, dan vinden we #h\lt k+\frac{1}{10^i}# en #k\lt h+\frac{1}{10^i}#. Dit is met rekenregel 3 voor ongelijkheden te herschrijven tot \[-\frac{1}{10^i}\lt h-k\lt\frac{1}{10^i}\tiny.\]Dus #h# en #k# zijn decimale getallen met #i# cijfers achter de decimale punt die minder dan #\frac{1}{10^i}# van elkaar verschillen. Dit maakt dat ze gelijk zijn. De conclusie is dat #h=k# een kop van de decimale ontwikkeling van #r# is, zoals te bewijzen was.

Stel, voor de gegeven decimale ontwikkelingen van #r# en #s#, dat er een geheel getal #j\ge -n# is, zodat #r_{-n}=s_{-n}#, # r_{1-n}=s_{1-n},\ldots, r_{j-1}=s_{j-1}#, en #r_j\lt s_j#. Omdat #r_j\lt s_j#, is #c_j := r_j+1# een cijfer dat kleiner dan of gelijk is aan #s_j#. Hieruit leiden we af:\[\begin{array}{rclcl}.r_1r_2r_3\cdots &\lt& .r_1r_2\cdots r_{j-1} +\frac{c_j}{10^j}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{bovenstaande stelling}}\\ &\le& .r_1r_2\cdots r_{j-1}s_j&&\color{blue}{c_j\le s_j}\\ &\le& .r_1r_2\cdots r_{j-1}s_js_{j+1}s_{j+2}\cdots&&\color{blue}{s_{j+1}\ge0, s_{j+2}\ge0,\ldots}\end{array}\]Hieruit volgt #r\lt s#.

Stel nu, omgekeerd, dat #r\lt s#, waarbij #r# en #s# positieve reële getallen zijn. Laat #r_{-m}r_{1-m}\cdots r_0.r_1r_2r_3\cdots # en #s_{-n}s_{1-n}\cdots s_0.s_1s_2s_3\cdots # de decimale ontwikkelingen van #a#, respectievelijk #b#, zijn zonder #9#-repeterende staarten. Door voldoende nullen links van de decimale ontwikkeling van #r# of #s# te plakken, kunnen we veronderstellen dat #m=n#. Laat nu #j\ge -n# de index van het eerste cijfer zijn waar de twee decimale ontwikkelingen verschillen. Dus #r_{-n}=s_{-n}#, #r_{1-n}=s_{1-n},\ldots, r_{j-1}=s_{j-1}#. Als nu #r_j\gt s_j#, dan kunnen we het voorgaande toepassen met #r# en #s# verwisseld, met als conclusie #r\gt s#. Dit is een tegenspraak. Omdat we #j# zo gekozen hebben dat #r_j\ne s_j#, moet #r_j\lt s_j# gelden. Dit bewijst het bestaan van #j# als aangegeven.