Bijvoorbeeld:

• #\max(3,8)=8# en #\max(-3,-8)=-3#, terwijl
• #\min(3,8)=3# en #\min(-3,-8)=-8#.

Het woord "gemene" is ouderwets taalgebruik en betekent hier "gemeenschappelijke".

Voorbeelden:

\[\begin{array}{rclcrcl}\gcd(2,3)&=&1&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(2,3) &=&6\\ \gcd(4,6)&=&2&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(4,6) &=&12\\ \gcd(4,4)&=&4&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(4,4) &=&4\end{array}\]

Laat #a# en #b# natuurlijke getallen zijn. Er zijn altijd getallen die zowel #a# als #b# delen, want #1# is een voorbeeld.

Elk getal dat #a# en #b# deelt, is kleiner dan of gelijk aan #\min(a,b)#. Daarom bestaat er een grootste gemeenschappelijke deler, en geldt \[1\le \gcd(a,b)\le\min(a,b)\tiny.\]

Er is altijd een getal dat zowel een veelvoud van #a# als van #b# is, namelijk #a\times b#. Anderzijds is zo'n gemeenschappelijk veelvoud groter dan of gelijk aan #\max(a,b)#. Daarom bestaat er een kleinste gemeeenschappelijk veelvoud, en geldt \[\max(a,b)\le {\rm lcm}(a,b)\le a\times b\tiny.\]

Er is ook een grootste gemene deler en een kleinste gemene veelvoud van meer dan twee getallen. Bijvoorbeeld \[\begin{array}{rclcrcl}\gcd(2,3,6)&=&1&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(2,3,6) &=&6\\ \gcd(2,4,6)&=&2&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(2,4,6) &=&12\\ \gcd(4,6,8)&=&2&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(4,6,8) &=&24\end{array}\]In het algemeen geldt voor drie natuurlijke getallen #a#, #b# en #c#:

\[ \gcd(a,b,c)=\gcd\left(\gcd(a,b),c\right)\tiny.\]

De definitie #\gcd(a,0)=0# is in overeenstemming met de definitie, want #a# deelt zowel #0# als zichzelf en is het grootste natuurlijke getal met die eigenschap.

Alle gelijkheden in de laatste twee regels van de definitie geven aan dat voor de definitie van #\gcd# en #\rm lcm# het teken er niet toe doet.

De waarden van #\gcd# en #\rm lcm# zijn nooit negatief.

Voorbeeld: #\gcd(15,-20)=\gcd(15,20)=5#.

De bewijzen laten we achterwege, maar we merken op dat alle uitspraken volgen uit regels 3 en 4.

Enkele voorbeelden:

1. #\gcd(42,28)=\gcd(7\times 6,7\times4) =7\times\gcd(6,4)= 14#.
2. Het getal #14# is de rest bij deling van #42# door #28#, dus #\gcd(42,28) = \gcd(14,28)#.
3. #\gcd(42,28)=\gcd(2\times3\times7,2^2\times7)=2\times7=14#, want #2# is de hoogste macht van #2# die zowel #42# als #28# deelt, evenzo voor #7#, en #1# is de hoogste macht van #3# die zowel #42# als #28# deelt.
4. #{\rm lcm}(42,28)={\rm lcm}(2\times3\times7,2^2\times7)=2^2\times3\times7=84#, want #2^2# is de hoogste macht van #2# die #42# of #28# deelt, en evenzo voor #3# en #7#.
5. #{\rm lcm}(42,28) = 84=42\times 2=\frac{42\times 28}{14}=\frac{42\times 28}{\gcd(42,28)}#.

Voor de rest #t# in stap 2 geldt de formule #t=r-\left\lfloor \frac{r}{s}\right\rfloor\times s#.

Elke instantie van het paar #\rv{r,s}# voldoet aan #\gcd(r,s)=\gcd(a,b)#:

1. In het begin omdat #\rv{r,s}# gelijk is aan #\rv{a,b}# of #\rv{b,a}#,

2. Aan het einde van elke stap 2 vanwege gcd-regel 2.

Als we klaar zijn met stap 2, dan geldt #s=0# en volgt #\gcd(a,b)=\gcd(r,0)=r#. De uitvoer levert dus inderdaad #\gcd(a,b)# op.