Getallen: Wortels
Gebroken machten
We kijken nu naar getallen van de vorm #a^{\frac{m}{n}}#, waar #m# en #n# natuurlijke getallen zijn. De exponent van #a# in deze macht is dus een breuk. Vandaar de volgende benaming.
Gebroken machten
Laat #m# en #n# positieve gehele getallen zijn en laat #a# een niet-negatief getal zijn.
- In plaats van #\sqrt[n]{a^m}# schrijven we ook #a^{\frac{m}{n}}#.
- Als #a\gt0#, dan schrijven we in plaats van #\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}# ook wel #a^{-\frac{m}{n}}#.
Deze machten van #a# heten gebroken machten.
We bespreken waarom dit mogelijk is. Als #p# een derde positief geheel getal is, dan geldt #\frac{m}{n} = \frac{mp}{np}#. Als de schrijfwijze van #a^{\frac{m}{n}}# voor #\sqrt[n]{a^m}# verantwoord is, dan moet ook gelden #\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}#. Dit is inderdaad het geval, getuige een van de rekenregels voor hogeremachtswortels.
Rekenregels voor gebroken machten
Laat #a# en #b# rationale getallen zijn en #x# en #y# positieve getallen. Dan gelden de volgende gelijkheden.
- #\left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b}#
- #\left(x\cdot y\right)^a = x^a\cdot y ^a#
- #x^a\cdot x^b = x^{a+b}#
- #\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}#
- #x^0 = 1#
In feite gelden deze wetten ook als #x# en #y# niet-negatieve getallen zijn en alle uitdrukkingen gedefinieerd zijn. Dit betekent dat als de exponent niet negatief mag zijn als het grondtal gelijk aan #0# is.
Later zullen we zien dat deze wetten niet alleen gelden als #a# en #b# rationaal zijn, maar zelfs als ze willeurige reële getallen zijn. Het probleem is niet alleen de gelijkheden af te leiden, maar ook om te laten zien wat de betekenis van #x^a# is als #a# een willekeurig reëel getal is.
Immers, #1024=4^5# dus #1024^{\frac{1}{5}}=\left(4^5\right)^{\frac{1}{5}}=4#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
