Getallen: Rationale getallen
Gehele machten van breuken
Gehele macht van een reëel getal
Voor elk getal \(g\) ongelijk aan #0# en elk positief geheel getal \(n\) is
\[\begin{array}{rcl}
g^n & =& \underbrace{g \times g \times \cdots \times g}_{n\textrm{ maal}} \\ g^0 & =& 1 \\ g^{-n} & = &\frac{1}{g^n}\end{array}\]
Hiermee is \(g^n\), de #n#-de macht van #g#, voor elk geheel getal \(n\) bepaald. Het getal \(g\) heet het grondtal en \(n\) heet de exponent.
Als #n# een natuurlijk getal is, dan is de definitie van #g^n# bekend van de theorie Het begrip geheel getal. Dan geldt de wet #g^{m}\cdot g^n=g^{m+n}#, waarbij #m# ook een natuurlijk getal is.
De definitie van #g^n# voor negatieve #n# is zo gekozen dat deze wet blijft gelden: #g^{1}\cdot g^{-1}=g\cdot\frac{1}{g}=1#.
Als het grondtal een breuk is, dan is het machtsverheffen eenvoudig uit te voeren:
Rekenregels voor machten
Voor elk getal \(a\) en \(b\) ongelijk aan \(0\) en elk geheel getal \(n\) geldt \[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\tiny.\]
Als bovendien \(n\lt0\), dan geldt ook \[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\dfrac{b^{-n}}{a^{-n}}\tiny.\]
Als #n\ge0#, dan volgt uit de definitie: \[\left(\frac{a}{b}\right)^n=\underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_{n\textrm{ maal}}=\dfrac{a^n}{b^n}\tiny.\]Dit bewijst de eerste uitspraak in het geval #n\ge0#.
Als #n\lt0#, dan volgt hieruit: \[\begin{array}{rclcl}\left(\frac{a}{b}\right)^n&=&\frac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie gehele macht}}\\&=&\frac{1}{\ \dfrac{a^{-n}}{b^{-n}}\ }&&\color{blue}{\text{voorgaande geval voor }-n}\\&=&\frac{b^{-n}}{a^{-n}}&&\color{blue}{\text{gedeeld door breuk want}}\\&&&&\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met omgekeerde breuk}}\end{array}\]Hiermee is de tweede uitspraak vastgesteld.
We moeten nog inzien dat de eerste uitspraak ook waar is voor #n\lt0#. Daartoe rekenen we door:\[\begin{array}{rclcl}\left(\frac{a}{b}\right)^n&=&\frac{b^{-n}}{a^{-n}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{zojuist afgeleid}}\\&=&{\ \dfrac{1}{b^n\ }}/{\ \dfrac{1}{a^n}\ }&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie gehele macht}}\\&=&{\frac{1}{b^n}}\cdot {\frac{a^n}{1}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{gedeeld door breuk want}}\\&&&&\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met omgekeerde breuk}}\\&=&\frac{a^n}{b^n}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{breuken vermenigvuldigd}}\\ \end{array}\]
Want \(\left(\frac{3}{7}\right)^{-3}={1}/{\left(\frac{3}{7}\right)^{3}}=\frac{1}{\dfrac{{3}^{3}}{{7}^{3}}}=\frac{{7}^{3}}{{3}^{3}}={{343}\over{27}}\)
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
