Lineaire vergelijkingen met één onbekende: Variaties
Vergelijkingen met absolute waarden
We brengen in herinnering dat de absolute waarde van het reële getal #x# gedefineerd is door\[| x | = \begin{cases} \phantom{-}x & \mbox{ als } x \ge 0\\ -x & \mbox{ als } x\lt0\end{cases}\]
Hieronder zie je de grafieken van #y = |x + b|# en van #y = c#. Door de sliders te bewegen krijg je een idee hoeveel oplossingen van de vergelijking #|x + b| = c# met onbekende #x# je kunt verwachten. Dit zijn de #x#-coördinaten van de punten die op elk van de twee grafieken liggen.
Hier is een algemene methode om de absolute waarde uit een vergelijking weg te werken.
Absolute waarden in een vergelijking
Een vergelijking met onbekende #x# waarin een uitdrukking als #|ax + b|# voorkomt, met reële getallen #a\ne0# en #b#, kan als volgt opgelost worden. Werk de absolute waarde weg door twee gevallen te onderscheiden:
- #x\ge - \frac{b}{a}#: vervang overal in de vergelijking #|ax + b|# door #ax + b#.
- #x\lt - \frac{b}{a}#: vervang overal in de vergelijking #|ax + b|# door #-ax - b#.
In een formule samengevat, waarin #\land# voor "en", en #\lor# voor "of" staat:\[\begin{array}{rcl}{\Huge[}\left(x\ge - \frac{b}{a}\right)&\land& \text{vergelijking met }|ax + b|\text{ vervangen door }ax + b{\Huge]}\\ &\lor&\\ {\Huge[}\left( x\lt - \frac{b}{a}\right)&\land& \text{vergelijking met }|ax + b|\text{ vervangen door }-ax - b{\Huge]}\end{array}\]
Los in elk van de twee gevallen de vergelijking op en controleer of de waarde #x# van die oplossing aan de ongelijkheid voldoet.
De grote rechthoekige haken zijn zo groot voor de duidelijkheid. De betekenis is niets anders dan die van een gewone haak.
Als voorbeeld bespreken we het oplossen van de vergelijking #|ax+b| + d = c#. Eerst moeten we de absolute waarde uitwerken. De definitie van #|ax+b|# geeft dat de vergelijking #ax+b+d= c# wordt als #ax+b\ge0#, en #-ax-b +d=c# als #ax+b\lt 0#. Dit kan uitgedrukt worden als \[\begin{array}{c}\big[x\ge - \frac{b}{a} \text{ en } ax+b+d= c\big]\\ \text{ of }\\ \big[x\lt - \frac{b}{a}\text{ en } -ax-b+d= c\big]\end{array}\]De levert de formule van de uitspraak in ons voorbeeld als we nog #\land# voor "en" en #\lor# voor "of" schrijven.
De vergelijking #|x + b| = c# is equivalent met \[x+b=c\lor x+b=-c\tiny.\]De twee vergelijkingen die hierin voorkomen, zijn lineair en kunnen dus opgelost worden.
Als #c\lt0#, dan is het linker lid van de vergelijking #|x+b| = c# niet-negatief en het rechter lid wel. Er kan dus niet aan de vergelijking voldaan zijn.
Als #c\ge0#, dan is #|x+b|=c# equivalent met\[\left(x+b=c\land x+b\ge0\right)\lor \left(x+b=-c\land x+b\lt0\right)\tiny.\]
Maar
- als #x+b=c#, dan is ook voldaan aan #x+b\ge0# en
- als #x+b=-c#, dan is ook voldaan aan #x+b\lt0#, tenzij #c=0#, een geval dat al behandeld is omdat dan #-c=-0=0=c#.
Dit betekent dat de oorspronkelijke vergelijking equivalent is met \[x+b=c\lor x+b=-c\tiny.\] Daarmee is de uitspraak bewezen.
De methode werkt nog algemener dan geformuleerd: ze kan gebruikt worden voor elke uitdrukking in #x# in plaats van #x+b# tussen de absoluut-strepen. In de voorbeelden hieronder laten we dat zien voor uitdrukkingen als #ax+b# en #\frac{ax+b}{cx+d}#.
Immers, het wegwerken van de absolute waarde geeft \[\left(x+1=19\right) \vee \left( x+1=-19 \right)\tiny.\]
We gaan de twee gevallen (vóór en na het #\vee#-teken) apart behandelen:
- De
vergelijking #x +1= 19# heeft oplossing #x = 18#.
- De vergelijking #x +1= -19# heeft oplossing #x = -20#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
