Lineaire vergelijkingen met één onbekende: Variaties
Oplossen door ontbinding
Nuldelerstelling
Als het product van twee reële getallen nul is, dan is ten minste één van beide gelijk aan nul. Andersom is het natuurlijk ook waar dat het product van twee getallen nul is als ten minste één van beide nul is.
Met andere woorden: voor elk tweetal reële getallen #a# en #b# geldt #a\cdot b = 0# dan en slechts dan als #a=0# of #b=0#.
Omdat #0\cdot a = 0# een bekende wet is, hoeven we alleen te laten zien dat, als #a\cdot b = 0#, het ook waar is dat #a=0# of #b=0#.
Stel dat #a\ne0#. Dan is #\frac{1}{a}# ook een reëel getal. Het voldoet aan #\frac{1}{a}\cdot a = 1#, dus #b = \frac{1}{a} \cdot a \cdot b = \frac{1}{a}\cdot 0 = 0#. Dit laat zien dat #b=0#. We concluderen dat #a=0# of #b=0#, waaruit de gedane uitspraak volgt.
Dit feit heeft voor vergelijkingen de volgende consequentie.
Oplossen door ontbinding
Laat #a#, #b#, #c# en #d# reële getallen zijn.
- De vergelijking #(x-a)\cdot (x-b) = 0# met onbekende #x# heeft oplossing #x=a\lor x=b#.
- De vergelijking #(ax+b)\cdot (cx+d) = 0# is equivalent met #ax+b=0\lor cx+d=0#.
De eerste uitspraak is een speciaal geval van de tweede. De tweede is een direct gevolg van de uitspraak Nuldelers hierboven.
Als je de haakjes van #(x-a)\cdot (x-b) = 0# uitwerkt, dan krijg je de vergelijking #x^2-(a+b)\cdot x+a\cdot b=0#. Dit is een zogeheten kwadratische vergelijking, waarvan oplossingsmethoden later besproken worden. Een vergelijking van de vorm #x^2-p\cdot x+q=0# heeft dus oplossing #x=a\lor x=b# als #a+b=p# en #a\cdot b = q#.
In speciale gevallen kunnen we die bewuste #a# en #b# vinden, bijvoorbeeld als ze gehele getallen zijn. Zo kunnen we bijvoorbeeld #x^2+4x-12=0#, het geval met #p=-4# en #q=-12#, oplossen door gehele #a# en #b# te zoeken met #a+b=-4# en #a\cdot b=-12#. Lopen we de delers van #12# langs, dan zien we dat #a=-6# en #b=\frac{-12}{-6}=2# voldoen aan de vergelijkingen #a+b= -4# en #a\cdot b = -12#, zodat de vergelijking equivalent is met #(x+6)\cdot(x-2)=0#, en dus met #x=-6\lor x= 2#.
Dit betekent dat we ook vergelijkingen als #(3x+4)\cdot(5x-9) = 0# aankunnen.
Immers, #(-3 x +1)\cdot ( 2 x +4) = 0# is equivalent met #-3 x +1=0\lor 2 x +4 = 0#. De eerste van deze twee lineaire vergelijkingen met onbekende #x# heeft oplossing #x={{1}\over{3}}# en de tweede #x=-2#. Het antwoord is dus #x= {{1}\over{3}}\lor x = -2#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
