#\int -\cos(6\cdot x)^8\cdot \sin(6\cdot x) \,\dd x=# #{{\cos(6\cdot x)^9}\over{54}} + C#

---

Aplicamos el método de sustitución con #g(x)={{x^8}\over{6}}# y #h(x)=\cos(6\cdot x)#, porque en ese caso se aplica #g(h(x)) \cdot h'(x)=-\cos(6\cdot x)^8\cdot \sin(6\cdot x)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(6\cdot x)^8\cdot \sin(6\cdot x) \,\dd x&=& \displaystyle \int {{\cos(6\cdot x)^8}\over{6}} \cdot -6\cdot \sin(6\cdot x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \\
\text{ con } h'(x)=-6\cdot \sin(6\cdot x)} \\ &=& \displaystyle \int \left({{\cos(6\cdot x)^8}\over{6}} \right) \, \dd(\cos(6\cdot x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^8}\over{6}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(6\cdot x)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^9}\over{54}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(6\cdot x)^9}\over{54}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(6\cdot x)}
\end{array}\]