Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =-4#, #b=5# y #c=2#. Se observa como #a<0# la gráfica es una parábola que abre hacia abajo.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #2#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,2}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{5}{2 \cdot -4} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{5}\over{8}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x={{5}\over{8}}# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& -4 \cdot {{5}\over{8}}^2 +5 \cdot {{5}\over{8}} +2
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{57}\over{16}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{{{5}\over{8}},{{57}\over{16}}}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeados a 1 decimal). Eso da: #\rv{0.6,3.6}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
-4\cdot x^2+5\cdot x+2 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{5}-\sqrt{5^2-4 \cdot -4 \cdot 2}}{2 \cdot -4} &\vee& x=\dfrac{-{5}+\sqrt{5^2-4 \cdot -4 \cdot 2}}{2 \cdot -4} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x={{5-\sqrt{57}}\over{8}} &\vee& x={{\sqrt{57}+5}\over{8}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{{{5-\sqrt{57}}\over{8}},0}# y #\rv{{{\sqrt{57}+5}\over{8}},0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-0.3,0}# en #\rv{1.6,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,2}#, #\rv{{{5}\over{8}},{{57}\over{16}}}#, #\rv{{{5-\sqrt{57}}\over{8}},0}# y #\rv{{{\sqrt{57}+5}\over{8}},0}#.