Despejando variables

Funciones exponenciales y logaritmos: Funciones logarítmicas

Despejando variables

Con lo que aprendimos al reescribir logaritmos, podemos reescribir funciones exponenciales a una función de la forma #x=\ldots#. A esto lo llamamos despejar #x#.

Podemos reescribir la función #y=5\cdot 4^{x-1}# como una ecuación de la forma #x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)#

\[\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{ecuación original}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{se dividen ambos lados por }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ da }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{se agrega }1\text{ a ambos lados}}\end{array}\]

Inversa

Despejar la variable #x# de una función es, en realidad, lo mismo que determinar la inversa de una función #f(x)#. Por lo tanto, usaremos la frase 'dar la función inversa #f^{-1}(x)#' en los ejercicios, ya que esto tiene el mismo significado que 'despejar #x# de la función #f(x)#'. En el ejemplo anterior, usamos la notación #y#, en lugar de la notación #f(x)#. La función inversa sería entonces \[f^{-1}(x)=\log_4\left(\dfrac{x}{5}\right)+1\].

También podemos despejar #x# de funciones más difíciles, como podemos ver en los siguientes ejemplos.

Despeja #x# de la siguiente ecuación.

\[y=19+8^{3\cdot x+4}\]

#x=# #\frac{\log_{8}\left(y-19\right)-4}{3}#

\(\begin{array}{rcl}
y&=&19+8^{3\cdot x+4}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación original}}\\
8^{3\cdot x+4}&=&y-19\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se intercambió y se movió el término constante a la derecha}}\\
3\cdot x+4&=&\log_{8}\left(y-19\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ da } b=\log_a\left(c\right)}\\
3\cdot x&=&\log_{8}\left(y-19\right)-4\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se movió el término constante a la derecha}}\\
x&=&\dfrac{\log_{8}\left(y-19\right)-4}{3}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se dividieron ambos lados por }3}
\end{array}\)

Nuevo ejemplo