Functies: Hogeregraadsfuncties
Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule
Sommige vergelijkingen met polynomen kunnen we oplossen met de abc-formule. We gebruiken hiervoor substitutie.
|
Stappenplan We lossen een vergelijking met polynomen in #x# op met de abc-formule. |
Voorbeeld #2x^4+3x^2-2=0# |
|
| Stap 1 | Schrijf de vergelijking in de vorm #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#. | #2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0# |
| Stap 2 | Substitueer #\blue{x^n}=\green u#. | #2\green u^2+3\green u-2=0# |
| Stap 3 | Los de ontstane kwadratische vergelijking in #\green u# op met de abc-formule. | #\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}# |
| Stap 4 | Substitueer #\green u =\blue{x^n}# in de gevonden oplossing(en). | #\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}# |
| Stap 5 | Bepaal de oplossingen in #x# van de in stap 4 ontstane vergelijkingen. | #x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}# |
#x=\sqrt[5]{{{1}\over{3}}} \lor x=\sqrt[5]{{{2}\over{5}}} #
| Stap 1 | We schrijven de vergelijking in de vorm: \[15 x^{2 \cdot 5}-11 x^{5}+2=0\] |
| Stap 2 | We substitueren #x^5=u#. Dat geeft: \[15 u^2-11 u+2=0\] |
| Stap 3 | We lossen de ontstane vergelijking in #u# op met de abc-formule. De discriminant is gelijk aan: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de discriminant}}\\ &=& \left(-11\right)^2-4 \cdot 15 \cdot 2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& 1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] Aangezien de discriminant positief is, zijn er twee oplossingen. Deze zijn: \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de oplossingen}}\\ u=\frac{-{-11}-\sqrt{1}}{2 \cdot 15} &\lor& u=\frac{-{-11}+\sqrt{1}}{2 \cdot 15}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ u={{1}\over{3}} &\lor& u={{2}\over{5}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] |
| Stap 4 | Nu substitueren we #u=x^{5}# in de gevonden oplossingen dat geeft \[x^{5}={{1}\over{3}} \lor x^{5}={{2}\over{5}}\] |
| Stap 5 | Tot slot lossen we deze vergelijkingen op de wortel te nemen. Dat geeft als oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking: \[x=\sqrt[5]{{{1}\over{3}}} \lor x=\sqrt[5]{{{2}\over{5}}}\] |
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
