Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =-1#, #b=1# y #c=5#. Se observa como #a<0# la gráfica es una parábola que abre hacia abajo.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #5#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,5}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{1}{2 \cdot -1} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{1}\over{2}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x={{1}\over{2}}# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& -{{1}\over{2}}^2 +{{1}\over{2}} +5
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{21}\over{4}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{{{1}\over{2}},{{21}\over{4}}}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeados a 1 decimal). Eso da: #\rv{0.5,5.2}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
-x^2+x+5 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{1}-\sqrt{1^2-4 \cdot -1 \cdot 5}}{2 \cdot -1} &\vee& x=\dfrac{-{1}+\sqrt{1^2-4 \cdot -1 \cdot 5}}{2 \cdot -1} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x={{1-\sqrt{21}}\over{2}} &\vee& x={{\sqrt{21}+1}\over{2}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{{{1-\sqrt{21}}\over{2}},0}# y #\rv{{{\sqrt{21}+1}\over{2}},0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-1.8,0}# en #\rv{2.8,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,5}#, #\rv{{{1}\over{2}},{{21}\over{4}}}#, #\rv{{{1-\sqrt{21}}\over{2}},0}# y #\rv{{{\sqrt{21}+1}\over{2}},0}#.