In het algemeen is het moeilijk om de algemene oplossing van een GDV te vinden. Afgezien van de zorg dat er een oplossing is, zullen we ons moeten bezighouden met het vinden van oplossingen. Hier bespreken we een methGDV, scheiding van variabelen, die van toepassing kan zijn in bijzondere gevallen, en de structuur en het bestaan van de oplossingsverzameling van een lineaire eerste-orde GDV.
Laat #y# een differentieerbare functie van #t# zijn. Stel dat \(f(t)\) en \(g(y)\) continue functies zijn, dat #g(y)# niet de constante functie #0# is, dat \(F(t)\) een primitieve is van #f(t)# en dat \(H(y)\) een primitieve is van #\frac{1}{g(y)}#.
De algemene oplossing #y# van de differentiaalvergelijking \[y'(t)={g(y)}\cdot {f(t)}\] voldoet aan de gelijkheid \[H(y)=F(t)+C\] waarbij \(C\) een constante is.
Een GDV zoals hierboven genoemd heet een scheidbare differentiaalvergelijking. Een vergelijking als #H(y)=F(t)+C# in de stelling wordt vaak aangeduid als een impliciete oplossing van de GDV.
De differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t} = {g(y)}\cdot{f(t)} \] kan worden geschreven als \[\dfrac{1}{ g(y)}\,\frac{\dd y}{\dd x} = f(t)\] en is dus gelijk aan \[\dd\bigl(H(y)\bigr) = \dd\bigl(F(t)\bigr)\] Bijgevolg geldt \[H(y)=F(t)+C\] voor een integratieconstante \(C\).
Als #g(y)# de constante functie #0# is, dan is de linkerkant van de GDV gelijk aan #0#, zodat #y# een constante functie is. Dit geval is gemakkelijk te hanteren.
Als de variabele #t# alleen voorkomt in #y#, dan wordt de GDV autonoom genoemd. Een eerste-orde autonome GDV van de vorm #y' = g(y)# voor een functie #g# is scheidbaar. Immers, een dergelijke GDV kan worden geschreven als \(y '(t) = g(y) \cdot f(t)\) met #f(t)# gelijk aan de constante functie #1#.
In het algemeen is de impliciete oplossing van de uitspraak geen oplossing van de GDV in de expliciete vorm \( y(t)=\text{a function of }t\), maar een relatie tussen de variabelen \(y\) en \(t\). Soms kan een expliciete oplossing worden afgeleid uit deze relatie.
Als er beginvoorwaarden zijn, dan kan de impliciete oplossing worden gebruikt voor het vinden van bijbehorende waarden van #C#.
Lineaire eerste-orde differentiaalvergelijkingen hebben de volgende vorm, waarbij \(a(t)\), \(b(t)\) en \(f(t)\) functies #a(t)\ne0# zijn. \[a(t)\cdot \frac{\dd y}{\dd t}+b(t)\cdot y=f(t)\] De vergelijking wordt homogeen genoemd als \(f(t)=0\). De functies \(a(t)\) en \(b(t)\) worden coëfficiënten en genoemd #f(t)# de inhomogene term. Wanneer deze coëfficiënten constant zijn, kan de algemene oplossing worden uitgedrukt in termen van standaardfuncties.
We kunnen aannemen dat de coëfficiënt #a(t)# verschilt van nul (dat wil zeggen: de constante functie #0#). Want anders zou de differentiaalvergelijking van nulde orde zijn. Daarom kunnen we delen door #a(t)#. In de resulterende vergelijking is de coëfficiënt van #y'# gelijk aan #1#. In dit geval, zeggen we dat de vergelijking de standaardvorm heeft.
Bekijk de GDV \[ y' + p(t)\cdot y= q(t)\] waarbij #p# en #q# functies zijn op een open interval #\ivoo{c}{d}#.
1. Laat #t_0# een punt van #\ivoo{c}{d}# zijn (dat wil zeggen: #c\lt t_0\lt d#) en laat \(p\) en \(q\) continue functies op dit interval zijn. Dan heeft het beginwaardeprobleem \[ y' + p(t)\cdot y= q(t), \phantom{xxx}\phantom{xx}y(t_0) = \alpha\] waarbij #\alpha# een willekeurig getal is, een unieke oplossing die gedefinieerd is op het hele interval #\ivoo{c}{d}#.
2. Stel dat #y_{\text{part}}# een oplossing van de GDV is. Dan kan elke oplossing #y# worden geschreven als de som \[ y = y_{\text{hom}} +y_{\text{part}}\] waarbij #z=y_{\text{hom}}# een oplossing is van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking
\[z' + p(t)\cdot z=0 \]
Een oplossing van de homogene GDV wordt een homogene oplossing van de oorspronkelijke GDV genoemd. De oplossing #y_{\text{part}}# wordt vaak aangeduid als de specifieke oplossing van de oorspronkelijke GDV.
De grenzen #c# en #d# van het interval kunnen gelijk zijn aan #-\infty#, respectievelijk #\infty#.
Een gevolg van de stelling is dat de algemene oplossing van een lineaire eerste-orde GDV met de opgegeven eigenschappen een enkele vrije parameter (integratieconstante) heeft. In termen van lineaire algebra: de oplossingsverzameling is een #1#-dimensionale affiene ruimte.
Een eenvoudig voorbeeld is #y'=q(t)#, waarbij #q# een continue functie gedefinieerd op een open interval dat de oorsprong bevat. Een particuliere oplossing is te vonden door het berekenen van een primitieve van de rechter zijde (deze bestaat omdat #q# continu). De bijbehorende homogene vergelijking heeft de algemene oplossing #y=C#. Dit kan direct gezien worden door het nemen van een primitieve. Maar we kunnen dit feit ook afleiden uit de stelling: Laat #y# om het even welke oplossing van de homogene GDV #y'=0# zijn. Kies #\alpha=y(0)#. De stelling laat zien dat er precies één functie #u# bestaat met #u'=0# en #u(0)=\alpha#. Zowel #y# als de constante functie #\alpha# voldoen aan deze voorwaarden. Dit maakt dat #y=u=\alpha#. Het blijkt dat elke oplossing van de homogene GDV de vorm #C# heeft. De conclusie is dat wanneer #Q(t)# een primitieve van #q(t)# is, de algemene oplossing van de GDV #y'=q(t)# gelijk is aan
\[ y= Q(t)+C\]
Deze oplossing is inderdaad uniek bepaald. Als we specificeren #y(0)=\alpha#, dan geldt \(y(t) = Q(t)+\alpha-Q(0)\). Deze oplossing wordt gedefinieerd op het gehele interval #\ivoo{c}{d}#.
Dat de algemene oplossing is een som van een homogene en een particuliere oplossing wordt gebruikt om het probleem van het vinden van alle oplossingen in twee stappen op te breken:
- Een oplossing vinden
- Alle homogene oplossingen vinden
De homogene oplossingen (van de tweede stap) vormen een vectorruimte: elke lineaire combinatie van homogene oplossingen (met constante coëfficiënten) is weer een homogene oplossing. Dit, en het feit dat de homogene GDV eenvoudiger is, vergroot het gemak van het vinden van de oplossing in het homogene geval. Het enige dat blijft na het vinden van de homogene oplossingen is de speurtocht naar één bepaalde oplossing (de eerste stap).
Bekijk de lineaire eerste-orde GDV \[ y'-p\cdot y = q\] waarbij #p# en #q# constanten ongelijk aan nul zijn. We weten dat de homogene vergelijking #y'-p\cdot y=0# oplossing #y_{\text{hom}}(t) = C\cdot \e^{p\cdot t}# heeft, waarbij #t# de onafhankelijke variabele en #C# een integratieconstante is.
Een bepaalde oplossing is te vinden in de vorm van een constante, zeg #a#. De substitutie #y=a# in de GDV geeft
\(0-p\cdot a = q\), dus #y_{\text{part}} (t)=a= -\frac{q}{p}# is een particuliere oplossing. We concluderen dat de algemene oplossing gelijk is aan
\[y(t) = y_{\text{part}} (t)+y_{\text{hom}} (t) =-\frac{q}{p}+C\cdot \e^{p\cdot t}\]
Bekijk het beginwaardeprobleem
\[y'=\sqrt[3]{y^{2}}\,\phantom{xxx}\text{ met }\phantom{xxx}y(0)=0\]
De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking
\[ y=0\lor y =\left(\frac{1}{3}x+C \right)^{{3}}\] Om dit in te zien, zetten we de oplossing #y=0#apart; dat wil zeggen: we nemen voor het moment aan dat #y\ne0#. We vinden
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle\left(y\right)^{-\frac{2}{3}}\,\frac{\dd y}{\dd x} &=& 1\\
\displaystyle{3} \frac {\dd \left(y^{\frac{1}{3}}\right)}{\dd x} &=& 1\\
\displaystyle\frac {\dd \left(y^{\frac{1}{3}}\right)}{\dd x} &=&\displaystyle\frac{1}{3} \\
\displaystyle y^{\frac{1}{3}} &=&\frac{1}{3}x+C \\
y &=&\displaystyle\left(\frac{1}{3}x+C \right)^{{3}} \\
\end{array}\]
Nemen we de beginvoorwaarde #y(0)=0# erbij, dan zien we dat
\[\text{zowel}\phantom{zzz} y=0\phantom{zzz}\text{als}\phantom{zzz}y=\left(\frac{1}{3}x \right)^{{3}}\]
specifieke oplossingen zijn. De conclusie is dat het beginwaardeprobleem tenminste twee oplossingen heeft.
Nu lijmen we de oplossing #y=0# ver van de oorsprong aan de oplossing #y =\left(\frac{1}{3}x+C \right)^{{3}}#. Het lijmen kan in een punt plaatsvinden #\rv{a,0}# waarvan de #x#-coördinaat #a# voldoet aan
\[\eqs{\left(\frac{1}{3}a+C \right)^{{3}}&=&0\cr\left(\frac{1}{3}a+C \right)^{{2}}&=&0\cr}\]
zodat de functie continu en differentieerbaar is in #x=a#. Als we #C=-\frac{a}{3}#, dan voldoet #a# aan de bovenstaande eisen en vinden we de volgende oplossing #y_a# van het beginwaardeprobleem
\[y_a(x) =\begin{cases}0&\text{ als }x\le a\\
\left(\frac{x-a}{3} \right)^{{3}} &\text{ als }x\gt a\\
\end{cases}\]
Daarom zijn er oneindig veel oplossingen.
Het grootste open interval #\ivoo{c}{d}# rond een bepaald punt #t_0# waarop aan de voorwaarden van de eerste uitspraak wordt voldaan, heet het geldigheidsinterval van het beginwaardeprobleem met #y(t_0) = \alpha#.
Hieronder zijn enkele voorbeelden te vinden.
Los het volgende beginwaardeprobleem op, waarbij #y# een functie van #t# is:
\[y'=y,\quad y(2)=4\]
\(y=4\cdot \e^{t-2}\)
De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking van exponentiële groei is gelijk aan \[y= C\cdot \e^t\] We gebruiken de voorwaarde \(y(2)=4\) door #t=2# en #y=4# hierin in te vullen. We krijgen dan de vergelijking \(4=C\cdot \e^{2} \), zodat #C = 4\cdot \e^ {- 2 }#. Door deze waarde van #C# in te vullen in de algemene oplossing vinden we de speciale oplossing van het beginwaardeprobleem:
\[ y= 4\cdot \e^ {- 2 } \cdot \e^t =4\cdot \e^{t-2}\]
Oplosmethoden voor differentiaalvergelijkingen
