Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =-{{1}\over{5}}#, #b=2# y #c=1#. Se observa como #a<0# la gráfica es una parábola que abre hacia abajo.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #1#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,1}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{2}{2 \cdot -{{1}\over{5}}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& 5 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x=5# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& -{{1}\over{5}} \cdot 5^2 +2 \cdot 5 +1
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& 6 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{5,6}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
-{{x^2}\over{5}}+2\cdot x+1 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{2}-\sqrt{2^2-4 \cdot -{{1}\over{5}} \cdot 1}}{2 \cdot -{{1}\over{5}}} &\vee& x=\dfrac{-{2}+\sqrt{2^2-4 \cdot -{{1}\over{5}} \cdot 1}}{2 \cdot -{{1}\over{5}}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x=5-\sqrt{30} &\vee& x=\sqrt{30}+5 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{5-\sqrt{30},0}# y #\rv{\sqrt{30}+5,0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-0.5,0}# en #\rv{10.5,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,1}#, #\rv{5,6}#, #\rv{5-\sqrt{30},0}# y #\rv{\sqrt{30}+5,0}#.