2-Dimensionale meetkunde: kegelsneden: Cirkels
Parametervoorstellingen van een cirkel
Net als voor de lijn, is het nuttig de punten van de cirkel te beschrijven met behulp van een parameter.
goniometrische parametrisatie van een cirkel
De cirkel gegeven door de vergelijking \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]heeft parametervoorstelling\[\rv{a+r\cos(\varphi),b+r\sin(\varphi)}\qquad (0\le \varphi\lt2\pi)\tiny.\]Hiermee wordt bedoeld dat elk punt van de gegeven cirkel beschreven wordt door de gegeven coördinaten voor precies één waarde van #\varphi# in #\ivco{0}{2\pi}#.
Voor bovenstaande parametervoorstelling zijn de cosinus en de sinus nodig. Als we afzien van één punt, dan kunnen we een eenvoudiger parametervoorstelling geven. We doen dit voor het geval dat de oorsprong het middelpunt is.
rationale parametrisatie van de eenheidscirkel
De cirkel gegeven door de vergelijking \[x^2+y^2=1\]minus het punt #\rv{0,-1}# heeft parametervoorstelling\[\rv{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}\qquad \tiny.\]Hiermee wordt bedoeld dat elk punt van de gegeven cirkel behalve #\rv{0,-1}# beschreven wordt door de gegeven coördinaten voor precies één waarde van #t#.
Het punt #\rv{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}# ligt inderdaad op de eenheidscirkel. Het voldoet namelijk aan de vergelijking voor de eenheidscirkel:\[\begin{array}{rcl}\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2+\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2&=&\frac{(2t)^2}{(1+t^2)^2}+\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{(2t)^2+(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{4t^2+1-2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{1+2t^2+t^4}{(1+t^2)^2}\\ &=&\frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2}\\ &=&1\end{array}\]We moeten nog inzien dat elk punt behalve #\rv{0,-1}# geschreven kan worden als #\rv{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}# voor een unieke waarde van #t#. Daartoe kiezen we een willekeurig punt #\rv{a,b}# op de eenheidscirkel en zoeken we de waarden voor #t# waarvoor geldt\[\rv{a,b}=\rv{\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}}\tiny.\]Gelijkstellen van de coördinaten, vermenigvuldigen met #1+t^2# (toegestaan omdat die uitdrukking altijd positief is) en herschikking van de termen geeft het volgende stelsel vergelijkingen in #t#:\[\eqs{a\,t^2-2t+a&=&0\cr (1+b)t^2-(1-b)&=&0\cr}\]De tweede vergelijking geeft #t^2=\frac{1-b}{1+b}#. Vervangen we #t^2# in de eerste vergelijking door die waarde, dan ontstaat de volgende lineaire vergelijking #a\,\frac{1-b}{1+b}-2t+a=0#, die als oplossing heeft: #t=\frac{a}{b+1}#. Er is dus hooguit één waarde voor #t# die voldoet. Als #b\ne-1#, dan is er precies één waarde die voldoet, en het is eenvoudig na te gaan dat de gevonden waarde voor #t# het punt #\rv{a,b}# oplevert. Hiermee is vastgesteld dat elk punt behalve #\rv{0,-1}# (het enige punt met #y#-coördinaat gelijk aan #-1#) in de parametervorm geschreven kan worden.
In een opgave gaan we nader in op de vraag hoe zo'n parametervoorstelling gevonden kan worden. Een andere opgave behandelt hoe een rationale parametrisatie uit die van de eenheidscirkel verkregen kan worden.
Voor de te vinden waarde van #\varphi# geldt #\rv{-{{3}\over{\sqrt{2}}}-2,{{3}\over{\sqrt{2}}}-5}=\rv{-2+3\cos(\varphi),-5+3\sin(\varphi)}#. Vertaald in twee vergelijkingen, voor elke coördinaat één, is dit\[\eqs{-{{3}\over{\sqrt{2}}}-2&=&-2+3\cos(\varphi)\cr {{3}\over{\sqrt{2}}}-5&=&-5+3\sin(\varphi)\cr}\]
Dit betekent dat #\cos(\varphi) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}# en #\sin(\varphi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}#. Deze waarden worden aangenomen voor #\varphi={135}^\circ#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
